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学习目标

Learning Objectives

• 理解用数值方法求解非线性方程 $f(x)=0$ 的基本含义。

• Understand what it means to solve a nonlinear equation $f(x)=0$ numerically.

• 在已知变号区间时应用二分法（Bisection Method）。

• Apply bisection when a sign-changing interval is available.

• 推导并使用牛顿切线法实现局部快速收敛（Convergence）。

• Derive and use Newton's tangent method for fast local convergence.

• 比较二分法（Bisection Method）与牛顿法（Newton's Method）在稳定性和收敛（Convergence）速度上的差异。

• Compare robustness and convergence speed of bisection and Newton methods.

关键概念

Key Concepts

• 根是满足 $f(x^*)=0$ 的数值 $x^*$。

• A root is a value $x^*$ such that $f(x^*)=0$.

• 二分法（Bisection Method）要求函数连续且满足端点变号 $f(a)f(b)<0$。

• Bisection requires continuity and a sign change $f(a)f(b)<0$.

• 牛顿迭代（Iteration）使用导数信息：$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。

• Newton iteration uses derivative information: $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

• 记号统一：迭代（Iteration）值记为 $x_n$，真根记为 $\alpha$，误差（Error）记为 $e_n=x_n-\alpha$。

• Notation standardization: iterate $x_n$, true root $\alpha$, error $e_n=x_n-\alpha$.

定义与公式

Definitions and Formulas

定义模块：介值定理

Definition Block: Intermediate Value Theorem

若 $f\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\alpha\in(a,b)$ 使得 $f(\alpha)=0$。

If $f\in C[a,b]$ and $f(a)f(b)<0$, then there exists $\alpha\in(a,b)$ with $f(\alpha)=0$.

二分中点：$m_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$。

Bisection midpoint: $m_n=\dfrac{a_n+b_n}{2}$.

二分法（Bisection Method）误差（Error）界：$|m_n-\alpha|\le \dfrac{b_0-a_0}{2^{n+1}}$。

Bisection error bound: $|m_n-\alpha|\le \dfrac{b_0-a_0}{2^{n+1}}$.

平方根问题的牛顿更新：若 $f(x)=x^2-c$，则 $x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{c}{x_n}\right)$。

Newton update for square roots: if $f(x)=x^2-c$, then $x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{c}{x_n}\right)$.

停止准则：$|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon$ 或 $|f(x_n)|<\varepsilon$。

Stopping criteria: $|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon$ or $|f(x_n)|<\varepsilon$.

推导

Derivations

由切线线性化推导牛顿公式

Newton Formula from Tangent Linearization

Linearize $f$ at $x_n$: $f(x)\approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$.

在 $x_n$ 处线性化：$f(x)\approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$。

令线性近似等于零并求下一次迭代（Iteration）值。

Set approximation to zero and solve for the next iterate.

Thus $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

得到 $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。

二分法（Bisection Method）区间收缩

Bisection Contraction

每次迭代（Iteration）将区间长度减半：$|I_n|=\dfrac{|I_0|}{2^n}$。

Each iteration halves interval length: $|I_n|=\dfrac{|I_0|}{2^n}$.

中点误差（Error）不超过区间长度的一半。

Midpoint error is at most half interval length.

因此在满足条件时，二分法（Bisection Method）线性收敛（Convergence）且全局可靠。

Therefore bisection is linearly convergent and globally reliable under assumptions.

例题精讲

Worked Examples

例题模块1：二分法（Bisection Method）求解 $x^3-x+1=0$

Example Block 1: Bisection for $x^3-x+1=0$

由课堂表可得 $f(-2)=-5$、$f(-1)=1$，因此根位于 $[-2,-1]$。

From the lecture table, $f(-2)=-5$ and $f(-1)=1$, so a root lies in $[-2,-1]$.

前三个中点为 $-1.5$、$-1.25$、$-1.375$，函数值符号交替。

First three midpoints are $-1.5$, $-1.25$, and $-1.375$ with alternating signs.

由此可将根定位在 $\alpha\approx -1.3247$ 附近。

This brackets a root near $\alpha\approx -1.3247$.

例题模块2：牛顿法（Newton's Method）求 $\sqrt{2}$

Example Block 2: Newton for $\sqrt{2}$

取 $f(x)=x^2-2$，初值 $x_0=1.5$。

Set $f(x)=x^2-2$ and choose $x_0=1.5$.

Iterates: $x_1=1.4166666667$, $x_2=1.4142156863$, $x_3=1.4142135624$.

迭代（Iteration）结果：$x_1=1.4166666667$、$x_2=1.4142156863$、$x_3=1.4142135624$。

该方法快速收敛（Convergence）到 $\sqrt{2}$。

The method converges rapidly to $\sqrt{2}$.

例题模块3：牛顿法（Newton's Method）求解 $x^3-x+2=0$

Example Block 3: Newton for $x^3-x+2=0$

由变号检验 $f(-1)=2$、$f(-2)=-4$，取初值 $x_0=-1$。

Choose $x_0=-1$ from the sign test with $f(-1)=2$, $f(-2)=-4$.

With $f'(x)=3x^2-1$, we get $x_1=-2$ and $x_2=-1.6363636364$.

由 $f'(x)=3x^2-1$，得到 $x_1=-2$、$x_2=-1.6363636364$。

误差（Error）分析

Error Analysis

• 二分法（Bisection Method）具有有保证的线性收敛（Convergence）：近似满足 $e_{n+1}\approx \dfrac{1}{2}e_n$。

• Bisection has guaranteed linear convergence: roughly $e_{n+1}\approx \dfrac{1}{2}e_n$.

• 牛顿法（Newton's Method）在简单根附近具有局部二次收敛（Convergence）：$e_{n+1}\approx C e_n^2$。

• Newton has local quadratic convergence near simple roots: $e_{n+1}\approx C e_n^2$.

• 当 $f'(x_n)$ 接近零或初值较差时，牛顿法（Newton's Method）可能失败。

• Newton may fail if $f'(x_n)$ is close to zero or if the initial guess is poor.

常见错误

Common Mistakes

警示模块

Warning Block

• 未检查端点变号就直接使用二分法（Bisection Method）。

• Applying bisection without checking endpoint sign change.

• 在浮点计算中用 f(x)==0 作为停止条件。

• Using exact equality f(x)==0 as stopping logic in floating-point arithmetic.

• 导数写错，例如把 $f'(x)=3x^2-1$ 写错。

• Using wrong derivative, such as miswriting $f'(x)=3x^2-1$.

• 没有基于容差的准则而过早停止。

• Stopping too early without tolerance-based criteria.

总结

Summary

总结模块

Summary Block

• 第1周建立了求根的核心框架：区间法与切线法。

• Week 1 established the core root-finding framework: bracketing methods and tangent-based methods.

• 二分法（Bisection Method）稳健；在导数可用且初值较好时牛顿法（Newton's Method）更快。

• Bisection is robust; Newton is fast when derivative information and good initial guesses are available.

• 这两类方法为后续插值、数值微分与数值积分（Numerical Integration）算法奠定基础。

• Both methods are foundational for later interpolation, differentiation, and integration algorithms.

练习题

Practice Questions

• 在 $[-2,-1]$ 上对 $x^3-x+1=0$ 进行 8 步二分，并给出最终误差（Error）上界。

• Use bisection on $x^3-x+1=0$ over $[-2,-1]$ for 8 steps and report the final error bound.

• 以 $x_0=1.8$ 为初值，用牛顿法（Newton's Method）求 $\sqrt{3}$，直到 $|x_{n+1}-x_n|<10^{-10}$。

• Apply Newton's method to compute $\sqrt{3}$ from $x_0=1.8$ until $|x_{n+1}-x_n|<10^{-10}$.

• 说明在实际计算中何时应优先选择二分法（Bisection Method）而不是牛顿法（Newton's Method）。

• Explain when bisection is preferred over Newton in practical computation.