课程回顾与目标

Review and Learning Objectives

• 本周结合数值微分与积分的核心内容，重点复习三点差分公式、积分近似规则及误差（Error）推导。

• This week combines core concepts in numerical differentiation and integration with a focus on reviewing three-point difference formulas, quadrature rules, and error analysis.

• 学习目标包括：

• Learning objectives include:

• 利用三个采样点拟合多项式导出均匀与非均匀网格差分公式。

• Derive difference formulas on uniform and non-uniform grids via polynomial interpolation.

• 理解梯形法与 Simpson 公式的推导过程及其误差（Error）阶。

• Understand derivations of trapezoid and Simpson rules along with their error orders.

• 掌握外推技术（如 Romberg 外推）以提升数值积分（Numerical Integration）精度。

• Master extrapolation techniques (e.g. Romberg extrapolation) to improve numerical integration accuracy.

• 分析积分误差（Error）的符号和权重，理解误差（Error）消除原理。

• Analyze the signs and weights of integration errors, and understand the error cancellation principle.

数值微分回顾

Numerical Differentiation Review

三点差分法基础

Three-Point Differentiation Formulas

给定节点 $p, q, r$ 及对应函数值 $P, Q, R$，通过二次插值

Given nodes $p,q,r$ with values $P,Q,R$, fit quadratic

$$p_2(x) = f[p] + f[p,q](x-p) + f[p,q,r](x-p)(x-q)$$

导数近似为

Derivatives approximated by

$$p_2'(p), \quad p_2'(q), \quad p_2'(r).$$

均匀网格简化版本：设 $x-h, x, x+h$，则

Uniform grid simplification at $x-h, x, x+h$:

• 一阶导数中心差分公式
• First derivative central difference:

$$f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$$

• 二阶导数中心差分公式
• Second derivative central difference:

$$f''(x) \approx \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2 f(x)}{h^2}$$

实例练习

Example Practice

给定数据点 $(1,P), (2,Q), (3,R)$，用三点公式估计 $f'(1), f'(2), f'(3)$。

ExampleBlock:

Given points $(1,P), (2,Q), (3,R)$, estimate $f'(1), f'(2), f'(3)$ using three-point formulas.

数值积分（Numerical Integration）基本方法

Fundamental Numerical Integration Methods

右端点近似法 (REA)

Right-Endpoint Approximation (REA)

区间 $[a,b]$ 均匀划分 $n$ 段，步长 $h=\frac{b-a}{n}$，用右端点采样值近似面积：

Partition $[a,b]$ into $n$ subintervals each of width $h = (b-a)/n$, approximate area by right endpoints:

$$\mathrm{REA}(f,[a,b],n) = h \sum_{i=1}^n f(x_i)$$

梯形法

Trapezoid Rule

复化梯形公式（Trapezoidal Rule）权重在内点翻倍，公式为：

$$T_n = h \left[ \frac{1}{2} f(x_0) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{1}{2} f(x_n) \right]$$

Simpson $1/3$ 法

Composite Simpson $1/3$ Rule

当 $n$ 为偶数时，采样点分为奇数和偶数索引点，权重结构为：

$$S_n = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{\substack{i \text{ odd}}} f(x_i) + 2 \sum_{\substack{ i \text{ even} \\ 0 < i < n }} f(x_i) + f(x_n) \right]$$

Simpson 单区间权重

Simpson Single Panel Weights

单面板 Simpson $3/8$ 法权重比例为 $(1,3,3,1)$。

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积分误差（Error）分析

Integration Error Analysis

Taylor 展开与误差（Error）阶

Taylor Expansion and Error Order

以函数在点 $0$ 处展开：

$$f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + \cdots$$

积分区间取对称区间 $[-h,h]$，真积分值计算为：

$$\mathrm{AUC}(f,[-h,h]) = \int_{-h}^h f(x) \, dx = 2h a + \frac{2h^3}{3} c + \frac{2 h^5}{5} e + \cdots$$

Simpson 近似权重为 $w$，样本分别在 $-h,0,h$，权重向量为 $(w, 1-2w, w)$，有：

$$\mathrm{ApproxArea} = 2h \left[ w f(-h) + (1-2w) f(0) + w f(h) \right]$$

Simpson 局部误差（Error）

Local Error of Simpson Rule

优化 $w$ 使得二次项误差（Error）补偿，得 $w = \frac{1}{6}$，权重即为 Simpson 的 $(1,4,1)/6$。

局部误差（Error）项主导为：

$$E_\text{Simpson} \propto h^5 f^{(4)}(\xi)$$

即 Simpson 公式具有五阶局部误差（整体四阶精度）。

梯形法与中点法误差（Error）符号互异

Opposite Signs of Trapezoid and Midpoint Errors

• 梯形法误差（Error）为：

  $$E_T = 2h \left[ \frac{2}{3} c h^2 + \frac{4}{5} e h^4 + \cdots \right]$$

• 中点法误差（Error）为：

  $$E_M = 2h \left[ -\frac{1}{3} c h^2 - \frac{1}{5} e h^4 + \cdots \right]$$

符号相反，利用这一对立可以进行误差（Error）消除。

The errors have opposite signs enabling weighted error cancellation.

Simpson 公式为梯形与中点混合

Simpson as a Mixture of Trapezoid and Midpoint Rules

选择混合参数 $\lambda$ 使得 $O(h^3)$ 主导误差（Error）消除，即

$$\lambda E_T + (1-\lambda) E_M = 0 \implies \lambda = \frac{2}{3}$$

由此得到 Simpson 权重为：

$$(1/6, 4/6, 1/6)$$

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Romberg 外推方法

Romberg Extrapolation

粗细网格积分近似

Coarse-Fine Grid Approximations

记 $I_h$ 和 $I_{h/2}$ 分别为步长为 $h$ 与 $h/2$ 的积分近似：

$$I_h = I + K h^p + \cdots, \quad I_{h/2} = I + K \left(\frac{h}{2}\right)^p + \cdots$$

通过线性组合消除主误差（Error）项 $K h^p$，得更高阶近似：

$$I_\text{extrap} = \frac{2^p I_{h/2} - I_h}{2^p -1}$$

这是 Romberg 外推的核心思想。

五点 Newton-Cotes 权重通过混合获得

Five-Point Newton-Cotes Weights by Error-Weight Plot

利用粗网格和细网格的加权和，解误差（Error）线性方程获得五点权重：

$$\text{Wei}_\text{mix} = \frac{1}{90} (7, 32, 12, 32, 7)$$

对应 Simpson $3/8$ 相关较高阶的 Newton-Cotes 配置。

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总结

Summary

• 三点差分法为数值微分提供方便的多点插值模板，均匀网格下有简洁公式。
• 右端点法、梯形法与 Simpson 法为常用的数值积分（Numerical Integration）方法，权重设计决定精度与误差（Error）结构。
• Simpson 公式等价于梯形与中点法的误差（Error）消除型加权组合，达到更高的局部误差（Error）阶。
• Romberg 外推通过多尺度积分估计线性组合，实现误差（Error）高阶抵消与数值精度提升。

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练习题

Practice Questions

<PracticeQuestionBlock>

1. 给定函数 $f(x)$ 在 $x=1,2,3$ 处的值为 $P, Q, R$，计算利用三点差分法估计 $f'(2)$。

• Given $f(x)$ values $P, Q, R$ at $x=1,2,3$, compute the estimate for $f'(2)$ using three-point formula.

2. 通过右端点近似法计算 $f(x) = x^2$ 在 $[0,1]$ 区间上分成 $n=2$ 段的积分近似值，并与精确积分比较。

• Use the right-endpoint approximation to estimate the integral of $f(x) = x^2$ on $[0,1]$ with $n=2$ subintervals and compare with the exact value.

3. 推导梯形法在区间 $[-h,h]$ 上积分误差（Error）的主导项。

• Derive the leading error term of the trapezoid rule approximating the integral over $[-h, h]$.

4. 证明 Simpson 公式的近似误差（Error）为局部 $O(h^5)$，整体为 $O(h^4)$。

• Prove that Simpson's rule has local error order $O(h^5)$ and global error order $O(h^4)$.

5. 利用 Romberg 外推法给出 $I_h$ 和 $I_{h/2}$，组成更高阶积分近似公式。

• Using Romberg extrapolation, given integrals $I_h$ and $I_{h/2}$ compute a higher-order accurate integral estimate.

</PracticeQuestionBlock>