第3周将插值从“仅函数值约束”推进到“函数值+导数约束”。

Week 3 develops interpolation from value-only constraints to value-plus-derivative constraints.

学习目标

Learning Objectives

• Construct interpolation polynomials in Newton and Lagrange forms.

• 分别用牛顿形式和 Lagrange 形式构造插值多项式。

• Build and use Lagrange basis functions for linear and quadratic interpolation.

• 构造并使用线性、二次插值的 Lagrange 基函数。

• Formulate Hermite interpolation conditions with repeated nodes.

• 用重节点思想建立 Hermite 插值条件。

• 从混合约束 $f(x_i)$ 与 $f'(x_i)$ 出发求解实际插值问题。

• Solve practical interpolation problems from mixed constraints $f(x_i)$ and $f'(x_i)$.

关键概念

Key Concepts

• Lagrange basis satisfies cardinal conditions: $L_i(x_j)=\delta_{ij}$.

• Lagrange 基函数满足基数条件：$L_i(x_j)=\delta_{ij}$。

• Newton and Lagrange forms represent the same unique interpolation polynomial.

• 牛顿形式与 Lagrange 形式表示同一个唯一插值多项式。

• Hermite interpolation imposes value and derivative matching at selected nodes.

• Hermite 插值在指定节点同时匹配函数值与导数。

• $n$ 次多项式插值由 $n+1$ 个独立约束唯一确定。

• For degree-$n$ polynomial interpolation, $n+1$ independent constraints determine uniqueness.

定义与公式

Definitions and Formulas

Lagrange basis:

Lagrange 基函数：

$L_i(x)=\prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$.

插值多项式：

Interpolation polynomial:

$p_n(x)=\sum_{i=0}^{n} y_iL_i(x)$.

Hermite setting at two nodes $x_0,x_1$: match $f(x_0),f'(x_0),f(x_1),f'(x_1)$.

两节点 Hermite 情形：匹配 $f(x_0),f'(x_0),f(x_1),f'(x_1)$。

A practical Hermite-Newton template from lecture:

课堂中的实用 Hermite-Newton 模板：

$Q(x)=Q(x_0)+Q'[x_0](x-x_0)+c(x-x_0)^2+d(x-x_0)^2(x-x_1)$.

推导

Derivations

Lagrange Basis for Two Points

两点情形的 Lagrange 基函数

对节点 $x_1,x_2$，要求 $L_1(x_1)=1$、$L_1(x_2)=0$。

For nodes $x_1,x_2$, impose $L_1(x_1)=1$, $L_1(x_2)=0$.

Hence $L_1(x)=\dfrac{x-x_2}{x_1-x_2}$ and $L_2(x)=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$.

因此 $L_1(x)=\dfrac{x-x_2}{x_1-x_2}$，$L_2(x)=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$。

Quadratic Lagrange Basis at Three Points

三点二次 Lagrange 基函数

对节点 $x_1,x_2,x_3$，每个 $L_i$ 是二次函数并在其余两点处为零。

For nodes $x_1,x_2,x_3$, each $L_i$ is degree 2 and vanishes at the other two nodes.

由此直接得到乘积表达式与插值求和式。

This directly yields the product form and interpolation sum.

Hermite Decomposition Idea

Hermite 分解思想

先构造满足初始值与导数约束的简化模型 $L(x)$。

Construct a simpler model $L(x)$ satisfying initial value and derivative constraints.

定义余项 $g(x)=f(x)-L(x)$，并施加重零点条件如 $g(x_0)=g'(x_0)=0$。

Define gap $g(x)=f(x)-L(x)$ and force repeated zeros such as $g(x_0)=g'(x_0)=0$.

由因式分解得到 $(x-x_0)^2$ 形式，从而确定高阶系数。

Then factorization gives terms like $(x-x_0)^2$, which determines higher coefficients.

例题精讲

Worked Examples

Example Block 1: Lagrange Linear Interpolation 例题模块1：Lagrange 线性插值

Given $f(1)=3$, $f(2)=5$.

给定 $f(1)=3$、$f(2)=5$。

$L_1(x)=\dfrac{x-2}{1-2}=-(x-2)$, $L_2(x)=\dfrac{x-1}{2-1}=x-1$.

So $f(x)=3L_1(x)+5L_2(x)=2x+1$.

故 $f(x)=3L_1(x)+5L_2(x)=2x+1$。

例题模块2：点 $(1,3),(2,5),(5,8)$ 的二次插值

Example Block 2: Quadratic Interpolation at $(1,3),(2,5),(5,8)$

用标准乘积公式构造 $L_1,L_2,L_3$。

Build $L_1,L_2,L_3$ with the standard product formula.

Then $p_2(x)=3L_1(x)+5L_2(x)+8L_3(x)$.

于是 $p_2(x)=3L_1(x)+5L_2(x)+8L_3(x)$。

Example Block 3: Hermite with $Q(0)=3$, $Q'(0)=2$, $Q(5)=4$ 例题模块3：$Q(0)=3, Q'(0)=2, Q(5)=4$ 的 Hermite 问题

先取 $L(x)=3+2x$。

Start with $L(x)=3+2x$.

因余项在 $x=0$ 处有二重零点，设 $Q(x)=L(x)+cx^2$。

Let $Q(x)=L(x)+cx^2$ because gap has double zero at $x=0$.

Use $Q(5)=4$: $4=3+10+25c$, so $c=-\dfrac{9}{25}$.

由 $Q(5)=4$ 得 $4=3+10+25c$，故 $c=-\dfrac{9}{25}$。

Hence $Q(x)=3+2x-\dfrac{9}{25}x^2$.

因此 $Q(x)=3+2x-\dfrac{9}{25}x^2$。

误差（Error）分析

Error Analysis

• 当节点分布不佳或过近时，插值敏感性会增大。

• Interpolation sensitivity grows when nodes are badly distributed or too close.

• 高阶模型虽然可能降低插值残差，但也可能放大舍入误差（Error）。

• Higher-order models can amplify rounding errors despite smaller interpolation residuals.

• Hermite conditions improve local shape matching but increase algebraic complexity.

• Hermite 约束改善局部形状匹配，但会增加代数复杂度。

常见错误

Common Mistakes

警示模块

Warning Block

• Forgetting denominator terms in Lagrange basis.

• 遗漏 Lagrange 基函数分母项。

• 在牛顿差商（Divided Difference）中混淆节点顺序。

• Mixing node order in Newton divided differences.

• Not enforcing derivative constraints exactly in Hermite construction.

• 在 Hermite 构造中未严格满足导数约束。

• 过早使用过多小数近似。

• Using too many decimal approximations too early.

总结

Summary

总结模块

Summary Block

• 第3周统一了插值视角，并引入了带导数约束的拟合。

• Week 3 unified interpolation viewpoints and introduced derivative-aware fitting.

• Lagrange gives a direct basis form, while Newton form is efficient for incremental updates.

• Lagrange 形式直观，牛顿形式便于增量更新。

• Hermite interpolation extends approximation quality by encoding slope information.

• Hermite 插值通过编码斜率信息提升了逼近质量。

练习题

Practice Questions

• Construct the quadratic polynomial through $(2,6),(3,1),(5,8)$ in both Newton and Lagrange forms.

• 分别用牛顿形式和 Lagrange 形式构造经过 $(2,6),(3,1),(5,8)$ 的二次多项式。

• 求满足 $f(2)=1$ 且 $f(3)=f(4)=f(7)=0$ 的三次多项式。

• Find the cubic satisfying $f(2)=1$ and $f(3)=f(4)=f(7)=0$.

• Solve a Hermite problem with $f(1)=3$, $f(5)=4$, $f'(1)=2$, $f'(5)=7$.

• 求解满足 $f(1)=3$、$f(5)=4$、$f'(1)=2$、$f'(5)=7$ 的 Hermite 插值问题。