Week 4 connects single-interval Hermite interpolation to multi-interval cubic spline constraints.

第4周将单区间 Hermite 插值与多区间三次样条约束连接起来。

学习目标

Learning Objectives

• Solve quadratic and cubic Hermite interpolation problems with endpoint derivatives.

• 求解带端点导数条件的二次与三次 Hermite 插值问题。

• 在含导数条目的情况下使用牛顿差商（Divided Difference）表。

• Use Newton divided-difference tables with derivative entries.

• Derive endpoint second-derivative formulas from cubic Hermite data.

• 由三次 Hermite 数据推导端点二阶导公式。

• 在样条构造中应用 $C^1$ 与 $C^2$ 拼接条件。

• Apply $C^1$ and $C^2$ junction conditions for spline construction.

关键概念

Key Concepts

• 函数空间记号：$C[a,b]$、$C^1[a,b]$、$C^2[a,b]$。

• Function class notation: $C[a,b]$, $C^1[a,b]$, $C^2[a,b]$.

• Hermite data on $[p,q]$: values $P,Q$ and derivatives $d_p,d_q$.

• 区间 $[p,q]$ 的 Hermite 数据：函数值 $P,Q$ 与导数 $d_p,d_q$。

• 三次样条是分段三次函数，并在拼接点满足光滑性条件。

• Cubic spline is piecewise cubic with required smoothness at junctions.

• 拼接处通常要求 $S$、$S'$、$S''$ 连续。

• Junction smoothness typically enforces continuity of $S$, $S'$, and $S''$.

定义与公式

Definitions and Formulas

Let $f[p,q]=\dfrac{Q-P}{q-p}$ and $h=q-p$.

记 $f[p,q]=\dfrac{Q-P}{q-p}$，步长 $h=q-p$。

Cubic Hermite form used in lecture:

课堂使用的三次 Hermite 形式：

$H(x)=P+f[p,q](x-p)+c(x-p)(x-q)+d(x-p)^2(x-q)$.

系数公式：

Coefficients:

$c=\dfrac{d_p-f[p,q]}{p-q}, \quad d=\dfrac{d_p+d_q-2f[p,q]}{(p-q)^2}$.

端点曲率关系：

Endpoint curvature relation:

$H''(p)=\dfrac{4d_p+2d_q-6f[p,q]}{h},\quad H''(q)=\dfrac{4d_q+2d_p-6f[p,q]}{h}$.

推导

Derivations

Quadratic Hermite from One Value Derivative Pair

从一个“值+导数”对构造二次 Hermite

Given $f(1)=3$, $f(5)=7$, $f'(1)=6$, write

给定 $f(1)=3$、$f(5)=7$、$f'(1)=6$，设

$f(x)=3+f[1,5](x-1)+c(x-1)(x-5)$.

求导后代入 $x=1$ 解出 $c$。

Differentiate and set $x=1$ to solve for $c$.

Cubic Hermite with Both Endpoint Slopes

同时给定两端斜率的三次 Hermite

加入余项 $d(x-1)^2(x-5)$，使 $x=1$ 处函数值与斜率约束保持不变。

Add gap term $d(x-1)^2(x-5)$ so that value and slope constraints at $x=1$ stay satisfied.

对表达式求导并代入 $x=5$，可解出 $d$。

Differentiate and evaluate at $x=5$ to solve for $d$.

样条拼接方程

Spline Junction Equation

对节点 $1,5,8$，未知中间斜率 $d_q=S'(5)$ 由下式确定：

For nodes $1,5,8$, unknown middle slope $d_q=S'(5)$ is found from

$S''(5^-)=S''(5^+)$.

利用两侧端点斜率数据可得到关于 $d_q$ 的一元线性方程。

This yields one linear equation in $d_q$ using endpoint slope data.

例题精讲

Worked Examples

Example Block 1: Quadratic Hermite 例题模块1：二次 Hermite

For $f(1)=3$, $f(5)=7$, $f'(1)=6$, we have $f[1,5]=1$.

对 $f(1)=3$、$f(5)=7$、$f'(1)=6$，有 $f[1,5]=1$。

Then $c=\dfrac{f'(1)-f[1,5]}{1-5}=\dfrac{6-1}{-4}=-\dfrac{5}{4}$.

于是 $c=\dfrac{f'(1)-f[1,5]}{1-5}=\dfrac{6-1}{-4}=-\dfrac{5}{4}$。

例题模块2：乘积导数快捷法

Example Block 2: Product Derivative Shortcut

Let $g(x)=(x-1)(x-2)(x-5)(x-7)$.

设 $g(x)=(x-1)(x-2)(x-5)(x-7)$。

在单根 $x=2$ 处，$g'(2)=\prod_{r\ne2}(2-r)=(2-1)(2-5)(2-7)=15$。

At a simple root $x=2$, $g'(2)=\prod_{r\ne2}(2-r)=(2-1)(2-5)(2-7)=15$.

例题模块3：样条中间斜率方程建立

Example Block 3: Spline Middle Slope Setup

Given $S(1)=3$, $S'(1)=2$, $S(5)=7$, $S(8)=6$, $S'(8)=9$.

给定 $S(1)=3$、$S'(1)=2$、$S(5)=7$、$S(8)=6$、$S'(8)=9$。

Use left and right cubic Hermite pieces and enforce $S''(5^-)=S''(5^+)$ to solve $d_q=S'(5)$.

分别构造左右三次 Hermite 段，并令 $S''(5^-)=S''(5^+)$ 解得 $d_q=S'(5)$。

误差（Error）分析

Error Analysis

• Hermite interpolation reduces local mismatch by using derivative data.

• Hermite 插值通过加入导数信息降低局部失配。

• 但导数数据噪声会传播到曲率项，可能导致样条形状不稳定。

• However, derivative noise can propagate into curvature terms and destabilize spline shape.

• 三次样条的光滑约束可提升跨区间的视觉与数值稳定性。

• Cubic spline smoothness constraints improve visual and numerical stability across intervals.

常见错误

Common Mistakes

警示模块

Warning Block

• 混用 $h=p-q$ 与 $h=q-p$ 且未跟踪符号。

• Mixing $h=p-q$ and $h=q-p$ without sign tracking.

• Forgetting that repeated-node Hermite conditions imply squared factors.

• 忽略重节点 Hermite 条件对应平方因子。

• 只施加 $C^1$ 连续而遗漏必需的 $C^2$ 条件。

• Applying only $C^1$ continuity and forgetting the required $C^2$ condition.

总结

Summary

总结模块

Summary Block

• Week 4 translated Hermite formulas into spline-ready endpoint and junction constraints.

• 第4周将 Hermite 公式转化为样条可用的端点与拼接约束。

• 核心转变是从单区间拟合走向整体分段光滑建模。

• The key transition is from one-interval fitting to global piecewise smooth modeling.

练习题

Practice Questions

• Given $f(1)=3$, $f(5)=7$, $f'(1)=6$, $f'(5)=4$, construct the cubic Hermite polynomial explicitly.

• 给定 $f(1)=3$、$f(5)=7$、$f'(1)=6$、$f'(5)=4$，显式构造三次 Hermite 多项式。

• 对节点 $p<q<r$，推导用端点斜率表示的 $S''(q^-)-S''(q^+)$ 公式。

• For nodes $p<q<r$, derive a formula for $S''(q^-)-S''(q^+)$ in terms of endpoint slopes.

• 求解本周样条例题中 $[1,5]$ 与 $[5,8]$ 的未知斜率 $S'(5)$。

• Solve the week example for unknown $S'(5)$ in the spline problem on $[1,5]$ and $[5,8]$.